Определители, векторные и

Смешанные произведения векторов

Определители

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, данных координатами

4. Смешанные произведения векторов

Цели занятия:познакомиться с понятием «матрица», ее математическим и физическим смыслом; осознать, что нахождение определителя матрицы является базисным при нахождении векторного и смешанного произведения векторов; осознать геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Роль и место лекции

Приобретенные познания будут нужны для восприятия темы «Матрицы Определители, векторные и» и «Системы линейных уравнений». Такое базовое понятие, как «определитель» позволит отыскивать решения систем линейных уравнений, смешанное и векторное произведение векторов и т.д. Понятие «смешанное произведение векторов» является одним из связывающих звеньев меж алгеброй, геометрией и векторным анализом.

Определители

Определение 1.

Квадратной матрицей именуется таблица чисел, состоящая из n строк Определители, векторные и и n столбцов. Обозначаются матрицы строчными знаками A, B, C и т. д.

, (1)

где - элемент матрицы, i – номер строчки, j – номер столбца.

Определение 2.

Определителем, либо детерминантом второго порядка, именуется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице второго порядка и определяемое последующим образом:

. (2)

1.1. Характеристики определителя

1. При перестановке 2 строк Определители, векторные и (столбцов) символ определителя изменяется на обратный:

.

2. Если все элементы строчки, столбца – нули, то определитель равен нулю:

.

3. Если в матрице однообразные две строчки (столбца), то определитель равен нулю:

.

4. Если в матрице пропорциональны две строчки (столбца), то определитель равен нулю:

.

5. Общий множитель всех частей строчки (столбца) можно выносить за символ определителя Определители, векторные и:

.

6. Определитель не поменяется, если к элементам одной строчки (столбца) матрицы прибавить элементы какой-либо другой строчки (столбца), умноженные на одно и тоже число:

.

Подтверждение (основано на определении).

.

Определение 3.

Определителем либо детерминантом третьего порядка, именуется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице третьего порядка и определяемое последующим образом:

.(3)

Замечание !!!

Потому что Определители, векторные и определитель третьего порядка определяется через определитель второго порядка, то все описанные характеристики определителя второго порядка справедливы и для третьего.

Определение 4.

Минором элемента именуется определитель, приобретенный вычеркиванием i-й строчки, j-го столбца, на скрещении которых находится элемент:

.(4)

Беря во внимание введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:

.

Определение 5.

Алгебраическим дополнением Определители, векторные и элемента именуется минор , умноженный на : :

, . (5)

Беря во внимание введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:

. (6)

Аналогичный вывод можно было получить для частей 2-й и 3-й строчки.

Аксиома 1 (Лапласа).

Сумма произведений частей какой-либо строчки на их алгебраические дополнения равна определителю. Сумма произведений частей какой-либо строчки на алгебраические дополнения Определители, векторные и другой строчки равна нулю:

.

Определение 6.

Определителем n-го порядка именуется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице n-го порядка и определяемое как

. (7)

2. Векторное произведение векторов

Определение 7.

Векторным произведением векторов и именуется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) ; 2) ;

3) ориентирован так, что если глядеть из его конца, то кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется Определители, векторные и против часовой стрелки (рис. 1), и обозначается .

ПРИМЕР 1.

Вектор угловой скорости определяется вектором линейной скорости и радиус-вектором как .

2.1. Характеристики векторного произведения

1) ; 2) ;

3) ; 4) Коллинеарности векторов

. (8)


opredelite-tip-slozhnogo-predlozheniya-slozhnosochinennoe-slozhnopodchinennoe-bessoyuznoe-rasstavit-znaki-prepinaniya-podcherknut-grammaticheskie-osnovi.html
opredelite-v-kakoj-obolochke-glaznogo-yabloka-videlyayut-naruzhnuyu-pigmentnuyu-chast-i-vnutrennyuyu-svetochuvstvitelnuyu-chast.html
opredelite-vklad-italyanskogo-vracha-mmalpigi-v-razvitie-medicini.html